Формула фокусного расстояния линзы. §4. Формула тонкой собирающей линзы


δ ≈F h ; ϕ 1 ≈R h .

Если полученные выражения подставить в формулу (3.1) и сократить

на общий множитель h , то мы получим:

n − 1

n − 1

Внимание ! Длина отрезкаF не зависит от произвольно выбранной нами высотыh , следовательно, все лучи из падающего пучка пересекутся в одной и той же точкеS 1 , называемойфокусом линзы. Само же расстояниеF называютфокусным расстоянием линзы, а физическую величинуP –оптической силой линзы . В системе СИ она измеряется в диоптриях и обозначаетсядптр . По определению 1 дптр – это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1м.

Пример 3.1. Вычислите оптическую силу линзы с фокусным расстояниемF = 16 см.

Решение. Выразим фокусное расстояние линзы в метрах:16 см = 0,16 м. По определению оптическая силаP = 1/(0,16 м) = 6,25 дптр.

Ответ: P = 6,25 дптр.

Можно показать (подумайте, как), что если пучок лучей, параллельных главной оптической оси, направить справа на выпуклую поверхность плосковыпуклой линзы, то все они, дважды преломившись в линзе, пересекутся на главной оптической оси в точке S 2 , отстоящей от линзы на таком же расстоянииF . То есть у линзы два фокуса. В этой связи договорились один фокус, в котором собираются параллельные лучи света, прошедшие сквозь собирающую линзу, называтьзадним , а другой фокус –передним . Для рассеивающих линз задний фокус (тот, в котором пересекаются продолжения параллельных лучей, падающих на линзу) находится со стороны источника, а передний – с противоположной стороны.

§4. Формула тонкой собирающей линзы

Рассмотрим двояковыпуклую собирающую линзу. Прямая ОХ , проходящая через центры кривизны преломляющих поверхностей линзы, называется еёглавной оптической осью (сравните это определение с определением из§3 для плоско-выпуклой линзы). Предположим, что точечный источник светаS 1 расположен на этой оси. Проведём из точкиS 1 два

Рис. 4.1

2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Физика. Тонкие линзы.

луча. Один – вдоль главной

оптической оси, а другой – под

углом φ 1 к ней, в точкуM лин-

зы, отстоящую от главной оп-

тической оси на расстоянии h

(рис. 4.1). Преломившись в

линзе, этот луч пересечёт глав-

ную оптическую ось в некото-

рой точке S 2 , которая есть изо-

бражение источника S 1 . Предпо-

ложим, что углы, которые рассматриваемый луч образует с главной оптической осью линзы, малы. Тогда

ϕ ≈

Легко видеть, что угол отклонения δ является внешним для треуголь-

Фрагмент линзы, в окрестности точки М через которую прошёл рассматриваемый луч, можно считать тонким клином. Ранее мы показали, что для тонкого клина угол отклонения есть величина постоянная и не зависит от угла падения. Значит, сместив источникS 1 вдоль главной оп-

тической оси и удалив его на бесконечность, мы добьемся того, что после прохождения линзы луч пройдёт через её фокус, а угол отклонения будет

δ ≈

Здесь F – фокусное расстояние линзы. Подставим выражения (4.1) и (4.3)

в формулу (4.2). После сокращения на множитель h получим:

Мы получили формулу тонкой собирающей линзы. Не забудьте, что она получена в параксиальном приближении (для малых углов ϕ 1 ;ϕ 2 ;δ ).

Первенство в выводе этой формулы приписывают замечательному французскому естествоиспытателю Рене Декарту.

Обычно предметы или источники света изображают слева от линзы. Задача 4.1. Найдите фокусное расстояниеF линзы, составленной из двух собирающих линз с фокусными расстояниямиF 1 иF 2 . Линзы прижа-

ты вплотную одна к другой, а их главные оптические оси совпадают.

© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович

2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Физика. Тонкие линзы.

Решение. Линзу, составленную из двух плотно прижатых друг к другу

чит, что и для неё справедлива формула (4.4). Поместим точечный источ-

ник света S 1 в переднем фокусе первой линзы. Для составной линзы

a = F 1 . Лучи, испущенныеS 1 , после прохождения первой линзы пойдут

параллельно её главной оптической оси. Но рядом находится вторая лин-

за. Пучок параллельных лучей, падающих на вторую линзу, сойдётся в её

заднем фокусе (точка S 2 ) на расстоянииF 2 . Для составной линзы расстоя-

ние b = F 2 . Выполнив соответствующие подстановки в (4.4) получим:

Это соотношение можно выразить через оптические силы линз:

P 1+ P 2

Мы получили очень важный результат – оптическая сила системы линз,

плотно прижатых друг к другу, равна сумме их оптических сил.

§5. Формула тонкой рассеивающей линзы

Рассмотрим двояковогнутую рассеивающую линзу. ОХ – её главная оп-

тическая ось. Предположим, что то-

чечный источник света S 1 располо-

жен на этой оси. Как и в предыду-

щем параграфе, проведём из точки

S 1 два луча. Один – вдоль главной

1 S 2

оптической оси, а другой – под уг-

лом к ней в точку M линзы, от-

стоящую от главной оптической оси

на расстоянии h (рис. 5.1). Прело-

мившись в линзе, этот луч будет

ещё сильнее удаляться от главной

оптической оси. Если его продол-

жить обратно, за линзу, то он пере-

сечёт главную оптическую ось в некоторой точке S 2 ,

называемой изо-

бражением источника S 1 . Поскольку

изображение получено в результате

мысленного, воображаемого пересечения лучей, то и называют его мни-

мым.

Легко видеть, что угол φ 2 является внешним для треугольникаS 1 MS 2 .

По теореме о внешнем угле треугольника

© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович

2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Физика. Тонкие линзы.

где F – фокусное расстояние линзы. Мы по-прежнему считаем, что углы, которые рассматриваемый луч образует с главной оптической осью линзы, малы. Тогда

ϕ ≈

Подставим выражения (5.2) и (5.3) для углов в формулу (5.1). После сокращения на общий множитель h получим:

Обычно выражение (5.4) записывают в несколько ином виде:

Мы получили формулу так называемой тонкой рассеивающей линзы. В качестве расстояний a ,b ,F берутся их арифметические значения.

§6. Построение изображений, даваемых тонкой линзой

На оптических схемах линзы принято обозначать в виде отрезка со стрелками на концах. У собирающих линз стрелки направлены наружу, а у рассеивающих – к центру отрезка.

Рассмотрим порядок построения изображений, которые создаёт собирающая линза (рис. 6.1). Поместим слева от линзы на расстоянии, большем фокусного, вертикальную стрелку (предмет) AB . Из точкиB пустим на линзу луч (1) параллельно главной оптической оси. Преломившись, этот луч пройдёт через задний фокус вправо и вниз. Второй луч пустим через передний фокус. Преломившись в линзе, он пойдёт вправо парал-

лельно главной оптической оси. Существует точка B 1 в которой оба луча пересекутся.B 1 есть изображение точкиB . Любой другой луч, вышедший изB и прошедший сквозь линзу, также должен прийти в точкуB 1 . Аналогичным образом построим изображение точкиA . Так, мы

© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович

2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Физика. Тонкие линзы.

построили изображение пред-

щих свойства тонкой линзы:

мета AB в тонкой линзе. Из рис. 6.1 видно что:

1) изображение стрелки

действительное (если на место изображения стрелки поместить плоский экран, то на нём можно увидеть её изображение);

2) изображение перевёрнутое (относительно самой стрелки). Как сама стрелкаAB , так и её изо-

бражение A 1 B 1 перпенди-

кулярны глав-

ной оптической оси. Отметим два достаточно об-

прямую линию линза отображает в прямую;

если плоский предмет перпендикулярен главной оптической оси, то и его изображение будет перпендикулярным этой оси. Вообще же,

углы у протяженных предметов, расположенных вдоль главной оптиче-

ской оси, и углы у их изображений различны. Это видно из рис. 6.2. Квадрат ABCD линза «превратила» в трапециюA 1 B 1 C 1 D 1 .

Если справа и слева от тонкой линзы находится одна и та же среда (обычно это воздух), то для построения изображения заданной точки может оказаться полезным ещё один «замечательный» луч – тот, который идёт через центр линзы. На рис. 6.1 он помечен как луч (3). Проходя через линзу, он не меняет своего направления и так же, как и первые два

© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович

Рассмотрим, выведенные формулы:


(3.8)

Сравним формулы (3.7 и 3.8), очевидно, что можно записать следующее выражение, связывающее оптические характеристики линзы (фокусные расстояния) и расстояния, характеризующие расположение предметов и их изображений:


, (3,9)

где F - фокусное расстояние линзы; D - оптическая сила линзы; d - расстояние от предмета до центра линзы; f - расстояние от центра линзы до изображения. Обратная фокусному расстоянию линзы величина

называется оптической силой.

Эта формула получила название формулы тонкой линзы. Она применяется только с правилом знаков: Расстояния считаются положительными, если они отсчитываются по направлению светового луча, и отрицательными, если эти расстояния отсчитываются против хода луча.

Рассмотрим следующий рисунок.


Отношение высоты изображения к высоте предмета называется линейным увеличением линзы.

Если рассмотреть подобные треугольники ВАО и ОАВ(рис.3.3), то линейное увеличение, даваемое линзой, можно найти следующим образом:


, (3.10)

где АВ - высота изображения; АВ- высота предмета.

Для качественного получения изображения используются системы линз и зеркал. При работе с системами линз и зеркал важно, чтобы система была центрирована, т.е. оптические центры всех тел, составляющих данную систему, лежали на одной прямой линии, главной оптической оси системы. При построении изображения в системе используется принцип последовательности: строят изображение в первой линзе (зеркале), затем это изображение является предметом для следующей линзы (зеркала) и вновь строят изображение и т.д.

Кроме фокусного расстояния оптической характеристикой линз и зеркал является оптическая сила, это величина обратна фокусному расстоянию:


(3,11)

Оптическая сила оптической системы всегда равна алгебраической сумме оптических сил, составляющих данную оптическую систему линз и зеркал. Важно помнить, что оптическая сила рассеивающей системы является величиной отрицательной.


(3.12)

Оптическая сила измеряется в диоптриях D=м -1 = 1дптр, т.е.одна диоптрия равна оптической силе линзы с фокусным расстоянием в 1м.

Примеры построения изображений с помощью побочных осей.

Так как светящаяся точка S находится на главной оптической оси, то все три луча, используемые для построения изображения совпадают и идут вдоль главной оптической оси, а для построения изображения нужно минимум два луча. Ход второго луча определяют с помощью дополнительного построения, которое выполняется следующим образом: 1) строят фокальную плоскость, 2) выбирают любой луч, идущий из точки S;


3) параллельно выбранному лучу, проводят

Аберрации оптических систем

Описываются аберрации оптических систем и методы их уменьшения или устранения.

Аберрации - общее название для погрешностей изображения, возникающих при использовании линз и зеркал. Аберрации (от лат. «аберрацио» - отклонение), которые проявляются только в немонохроматическом свете, называются хроматическими. Все остальные виды аберраций являются монохроматическими, так как их проявление не связано со сложным спектральным составом реального света.

Источники аберраций . В определении понятия изображения содержится требование того, чтобы все лучи, выходящие из какой-то точки предмета, сходились в одной и той же точке в плоскости изображения и чтобы все точки предмета отображались с одинаковым увеличением в одной и той же плоскости.

Для параксиальных лучей условия отображения без искажений соблюдены с большой точностью, однако не абсолютно. Поэтому первый источник аберраций состоит в том, что линзы, ограниченные сферическими поверхностями, преломляют широкие пучки лучей не совсем" так, как это принимается в параксиальном приближении. Например, фокусы для лучей, падающих на линзу на разных расстояниях от оптической оси линзы, различны и т. д. Такие аберрации называют геометрическими.

а) Сферическая аберрация - монохроматическая аберрация, обусловленная тем, что крайние (периферические) части линзы сильнее отклоняют лучи, идущие от точки на оси, чем ее центральная часть. В результате этого изображение точки на экране получается в виде светлого пятна, рис. 3.5


Этот вид аберрации устраняется путем использования систем, состоящих из вогнутой и выпуклой линз.

б) Астигматизм - монохроматическая аберрация, состоящая в том, что изображение точки имеет вид пятна эллиптической формы, которое при некоторых положениях плоскости изображения вырождается в отрезок.

Астигматизм косых пучков проявляется тогда, когда пучок лучей, исходящих из точки, падает на оптическую систему и составляет некоторый угол с ее оптической осью. На рис. 3.6а точечный источник расположен на побочной оптической оси. При этом возникают два изображения в виде отрезков прямых линий, расположенных перпендикулярно друг другу в плоскостях I и П. Изображение источника можно получить лишь в виде расплывчатого пятна между плоскостями I и П.

Астигматизм, обусловленный асимметрией оптической системы. Этот вид астигматизма возникает, когда симметрия оптической системы по отношению к пучку света нарушена в силу устройства самой системы. При такой аберрации линзы создают изображение, в котором контуры и линии, ориентированные в разных направлениях, имеют разную резкость. Это

наблюдается в цилиндрических линзах, рис. 3.6


Рис. 3.6. Астигматизм: косых лучей (а); обусловленный

цилиндрической линзой {б)

Цилиндрическая линза образует линейное изображение точечного объекта.

В глазу астигматизм образуется при асимметрии в кривизне систем хрусталика и роговицы. Для исправления астигматизма служат очки, которые имеют различную кривизну в разных направлениях.

направлениях.

в) Дисторсия (искажение). Когда лучи, посылаемые предметом, составляют большой угол с оптической осью, обнаруживается еще один вид аберрации - дисторсия. В этом случае нарушается геометрическое подобие между объектом и изображением. Причина состоит в том, что в действительности линейное увеличение, даваемое линзой, зависит от угла падения лучей. В результате изображение квадратной сетки принимает либо подушко-, либо бочкообразный вид, рис. 3.7


Рис. 3.7 Дисторсия: а) подушкообразная, б) бочкообразная

Для борьбы с дисторсией подбирают систему линз с противоположной дисторсией.

Второй источник аберраций связан с дисперсией света. Поскольку показатель преломления зависит от частоты, то, и фокусное расстояние и другие характеристики системы зависят от частоты. Поэтому лучи, соответствующие излучению различной частоты, исходящие из одной точки предмета, не сходятся в одной точке плоскости изображения даже тогда, когда лучи, соответствующие каждой частоте, осуществляют идеальное отображение предмета. Такие аберрации называются хроматическими, т.е. хроматическая аберрация заключается в том, что пучок белого света, исходящий из точки, дает ее изображение в виде радужного круга, фиолетовые лучи располагаются ближе к линзе, чем красные, рис. 3.8


Рис. 3.8. Хроматическая аберрация

Для исправления этой аберрации в оптике используют линзы, изготовляемые из стекол с разной дисперсией: ахроматы,

Установим соответствие между геометрическим и алгебраическим способами описания характеристик изображений, даваемых линзами. Сделаем чертёж по рисунку со статуэткой в предыдущем параграфе.

Поясним наши обозначения. Фигура AB – статуэтка, которая находится на расстоянии d от тонкой собирающей линзы с центром в точке О. Правее располагают экран, на котором A"B" – изображение статуэтки, наблюдаемое на расстоянии f от центра линзы. Точками F обозначены главные фокусы, а точками 2F – двойные фокусные расстояния.

Почему мы построили лучи именно так? От головы статуэтки параллельно главной оптической оси идёт луч BC, который при прохождении линзы преломляется и проходит через её главный фокус F, создавая луч CB". Каждая точка предмета испускает множество лучей. Однако при этом луч BO, идущий через центр линзы, сохраняет направление из-за симметрии линзы. Пересечение преломлённого луча и луча, сохранившего направление, даёт точку, где будет изображение головы статуэтки. Луч AO, проходящий через точку О и сохраняющий своё направление, позволяет нам понять положение точки A", где будет изображение ног статуэтки – на пересечении с вертикальной линией от головы.

Предлагаем вам самостоятельно доказать подобие треугольников OAB и OA"B", а также OFC и FA"B". Из подобия двух пар треугольников, а также из равенства OC=AB, имеем:

Последняя формула предсказывает соотношение между фокусным расстоянием собирающей линзы, расстоянием от предмета до линзы и расстоянием от линзы до точки наблюдения изображения, в которой оно будет отчётливым. Чтобы эта формула была применима и для рассевающей линзы, вводят физическую величину оптическая сила линзы.

  1. В этом параграфе мы намерены выяснить, в чём будет заключаться...
  2. Для геометрического описания конкретного изображения, даваемого линзой, мы...
  3. На сделанном нами чертеже жёлтая фигура AB – это...
  4. Зелёная двуконечная стрелка является обозначением...
  5. На расстоянии f правее линзы расположен не показанный на чертеже...
  6. Главные фокусы линзы обозначены...
  7. Удвоенные фокусные расстояния обозначены...
  8. Любой луч, идущий «на линзу» параллельно её главной оптической оси, ...
  9. Из точки B мы проведём только два луча, несмотря на то, что...
  10. Проведённый нами через центр линзы луч...
  11. Точку, в которую спроецируется голова статуэтки, нам даст...
  12. Из точки A также исходит множество лучей, однако мы проведём только один...
  13. Луч AO поможет нам определить место расположения...
  14. Последняя формула на первой странице параграфа вытекает...
  15. Эта формула справедлива, только если даваемое линзой изображение предмета отчётливое, и...

Для того чтобы управлять световыми пучками, т. е. изменять направление лучей, применяют специальные приборы, например лупу, микроскоп. Основной частью этих приборов является линза.

    Линзами называются прозрачные тела, ограниченные с двух сторон сферическими поверхностями.

Линзы бывают двух видов - выпуклые и вогнутые.

Линза, у которой края намного тоньше, чем середина, является выпуклой (рис. 151, а).

Рис. 151. Виды линз:
а - выпуклые; б - вогнутые

Линза, у которой края толще, чем середина, является вогнутой (рис. 151, б).

Прямая АВ, проходящая через центры С 1 и С 2 (рис. 152) сферических поверхностей, ограничивающих линзу, называется оптической осью .


Рис. 152. Оптическая ось линзы

Направив на выпуклую линзу пучок лучей, параллельных оптической оси линзы, мы увидим, что после преломления в линзе эти лучи пересекают оптическую ось в одной точке (рис. 153). Эта точка называется фокусом линзы . У каждой линзы два фокуса - по одному с каждой стороны линзы.


Рис. 153. Собирающая линза:
а - прохождение лучей через фокус; б - изображение ее на схемах

Расстояние от линзы до её фокуса называется фокусным расстоянием линзы и обозначается буквой F.

Если на выпуклую линзу направить пучок параллельных лучей, то после преломления в линзе они соберутся в одной точке - F (см. рис. 153). Следовательно, выпуклая линза собирает лучи, идущие от источника. Поэтому выпуклая линза называется собирающей .

При прохождении лучей через вогнутую линзу наблюдается другая картина.

Пустим пучок лучей, параллельных оптической оси, на вогнутую линзу. Мы заметим, что лучи из линзы выйдут расходящимся пучком (рис. 154). Если такой расходящийся пучок лучей попадёт в глаз, то наблюдателю будет казаться, что лучи выходят из точки F. Эта точка находится на оптической оси с той же стороны, с какой падает свет на линзу, и называется мнимым фокусом вогнутой линзы. Такую линзу называют рассеивающей .


Рис. 154. Рассеивающая линза:
а - прохождение лучей через фокус; б - изображение её на схемах

Линзы с более выпуклыми поверхностями преломляют лучи сильнее, чем линзы с меньшей кривизной (рис. 155).


Рис. 155. Преломление лучей линзами различной кривизны

Если у одной из двух линз фокусное расстояние короче, то она даёт большее увеличение (рис. 156). Оптическая сила такой линзы больше.


Рис. 156. Увеличение линзы

Линзы характеризуются величиной, которая называется оптической силой линзы . Оптическая сила обозначается буквой D.

    Оптическая сила линзы - это величина, обратная её фокусному расстоянию .

Оптическая сила линзы рассчитывается по формуле

За единицу оптической силы принята диоптрия (дптр).

1 диоптрия - это оптическая сила линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м.

Если фокусное расстояние линзы меньше 1 м, то оптическая сила будет больше 1 дптр. В случае, когда фокусное расстояние линзы больше 1 м, её оптическая сила меньше 1 дптр. Например,

если F = 0,2 м, то D = 1 / 0,2 м = 5 дптр,
если F = 2 м, то D = 1 / 2 м = 0,5 дптр.

Поскольку у рассеивающей линзы фокус мнимый, то условились считать её фокусное расстояние отрицательной величиной. Тогда и оптическая сила рассеивающей линзы будет отрицательной.

Оптическую силу собирающей линзы условились считать положительной величиной.

Вопросы

  1. Как по внешнему виду линз можно узнать, у какой из них короче фокусное расстояние?
  2. Какая из двух линз, имеющих разные фокусные расстояния, даёт большее увеличение?
  3. Какую величину называют оптической силой линзы?
  4. Как называется единица оптической силы?
  5. Оптическая сила какой линзы принимается за единицу?
  6. Чем отличаются друг от друга линзы, оптическая сила одной из которых равна +2,5 дптр, а другой -2,5 дптр?

Упражнение 48

  1. По рисунку 155 сравните оптические силы изображённых на нём линз.
  2. Оптическая сила линзы равна -1,6 дптр. Каково фокусное расстояние этой линзы? Можно ли с её помощью получить действительное изображение?